求使不等式4mx^2－2mx－1＜0恒成立的充要条件

设f(x)=4mx^2－2mx－1因为最高次项的系数4m中含有参量，因此需要就系数是否为零进行讨论。若4m≠0，即m≠0则f(x)为关于x的一元二次函数.不等式4mx^2－2mx－1＜0恒成立，则需二次项系数4m小于零且△=4m^2-4[4m(-1)]<0解得-4<m<0
若4m=0即m=0则f(x)=-1<0对x∈R恒成立综上所述使不等式4mx^2－2mx－1＜0，对x∈R恒成立的充要条件是-4＜a≤0

开口向下，且无实根，即
4m<0且m^2<-4m
m<0, -4<m<0
所以-4<m<0

m=0时，原式=-1<0恒成立
当m不等于0时，为x的二次多项式，原式<0恒成立需要
4m<0且△=(-2m)^2-4*4m*(-1)<0
解得-4<m<0
综上，-4<m<=0

原式=4m（x-1/4）^2-1-m/4恒小于0，
当m不等于0时，由图形知
m<0,且-1-m/4<0,解得 -4<m<0
当m=0时，原式=-1，成立。

综上， -4<m《0

分两种情况:一、4m=-2m=0→m=0 二、4m〉且判别式〈0→ （-2m）^2-4*4m*(-1)〈0→-4〈m〈0